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수학

생각하며 계산하기

생각하며 계산하기 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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우리(부모)들이 수학을 배웠던 방법이 왜 잘못되었다는 것일까?

계산 과정을 가르치는게 무슨 잘못일까?

기본적인 연산법을 확실하게 가르쳐 주면 

나중에 문제 풀이에 응용할 수 있지 않겠는가?

내 장담하지만, 이런 식으로 수학을 가르친다면 그건 엄청난 오류다. 

게다가 이런 교육 방식은 수학을 가르치는데 하등의 도움이 되지 못한다.  

어릴 적 모노폴리(땅이나 건물을 사고 파는 보드게임)를 

안해 본 사람이 없을 것이다.

 

[ 중략 ] 

 

물론 처음엔 잘 못했지만, 

시간이 갈수록 익숙해지며 아주 자연스럽게 배웠다. 

우연한 기회에 이 게임을 접하고, 시행착오를 거치면서 

게임의 전반적인 밑그림을 그릴 수 있었다. 

주사위를 굴리는 법, 말을 움직이는 법, 부동산 구입 요령, 

또 찬스를 쓰거나 '고'를 외치고 2백달러를 벌어들이는 방법을 따로 배운 적이 없다. 

나는 놀이를 통해 방법을 습득한 것이지, 게임에 대해 별도로 공부한 것이 아니다. 

 

언어도 그렇게 배운다. 

아무것도 모르는 상황에서 하우적 거리면서 

자연스럽게 말을 하고 말의 뜻을 이해하는 것이다. 

우리는 갓난아기 때부터 세상에서 들려오는 언어를 항상 듣는다.

입으로 소리를 내려고 노력하고, 그 소리에 대한 반응을 통해 학습을 한다.  

듣고 말하는 다양한 소리를 통해 무의식중에 

언어를 구성하는 음성 패턴을 파악하고 단어의 뜻을 익힌다. 

 

[ 중략 ]

 

"우리 공주님, 엄마는 의자가 아니라 소파에 가서 앉으라고 했어요."

엄마가 말하자 마리는 벌떡 일어나 주위를 둘러보고 소파에 자리를 잡았다.

"그래, 잘했어."

엄마가 의식적으로 소파와 의자의 차이를 가르치려고 했던 것은 아니다. 

하지만 이 무의식적인 상황에서 아이들은 무언가를 배운다. 

아이들은 대부분 이런 식으로 언어를 익힌다.('배운다' 가 아님!!)

바로 일상 생활의 경험에서 말이다.

 

어느 날은 학교 수업을 다 마쳤을 때였다. 

1학년 학생이 내게 오더니 불만을 털어놓았다. 

"쟤가 날 때렸어요" 그 애는 반 친구를 가리키며 말했다. 

나는 친구끼리의 다툼을 해결해 주면서, 

마음 한 구석으로는 아이들의 문법구조에 감탄하고 있었다.

이 아이는 '때리다' 라는 동사에 '~했다'를 연결해 과거 시제로 말했던 것이다. 

이 얼마나 놀라운가!

과거 시제를 말하기 위해 '~했다'를 동사 뒤에 붙여야 한다는 것을 

우리 중 누구도 집에서나 학교에서 배운 적이 없었다. 

일상에서 의사소통을 하며 자연스럽게 과거 시제를 익혔기 때문이다.

 

 

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누구나 학습 능력을 갖고 태어난다. 

특별한 정신 장애가 없는 한 우리는 

세상에 대해 호기심을 갖고 학습할 수 있다. 

물론 타고난 재능이 사람마다 달라서, 어떤 아이는 수학에 재능이 많고, 

어떤 아이는 예술적 재능을 타고나며, 기술적인 능력이 뛰어난 아이들도 있다.         

하지만 어떻게 그리 많은 사람이 하나같이 수학을 어려워 할 수 있는가!

아이들은 학교에 입학하기 전에는 숫자에 매료되어 셈하기를 좋아한다.  

도형에 빠져 재멋대로 이름 붙이는 것도 좋아한다. 

치수를 재거나 같은 것끼리 찾는 것에도 호기심이 많아

기회만 되면 정신없이 같은 것을 찾고 치수를 재보기도 한다.

그런데 학교에서 무슨 일이 일어나기에 

어른이 되면 수학에 학을 떼는 것일까? 

 

간단히 말해 학교에서 수학을 배우기 시작하는 즉시

생활 속에서 배우던 방법들은 모두 무시를 당하기 때문이다.

우리는 덧셈, 뺄셈, 곱셈의 순서에 따라 

끊임없이 교과서나 학습지의 문제를 풀어야 한다.  

덧셈과 곱셈을 함께 생각하는 법은 배우지 못한다. 

따라서 덧셈과 뺄셈의 관계도, 곱셈과 나눗셈의 관계도 알지 못한다. 

그저 각각 따로따로 알 뿐이다. 

생활 속에서는 자연스럽게 두루 익힐 수 있지만, 

학교 수학은 부분 부분을 따로 배우게 된다. 

이 방법은 많은 사람들에게 별 효과가 없다. 

 

일곱살 무렵 처음 피아노를 배우면서 음표 읽는 법을 배웠다.

수학을 배울 때 제일 먼저 덧셈과 뺄셈을 배우는 것처럼 말이다. 

하지만 피아노를 배웠던 방법과 수학을 배웠던 방법에는 커다란 차이가 있다.

피아노를 배우기 전부터 나는 수도 없이 음악을 들었다. 

피아노를 치는 사람도 많이 보았다. 

짧은 곡을 연주하면 식구들은 감탄하며 내 피아노 솜씨를 칭찬해 주었다. 

식구들은 내게 다른 질문이나 요청을 하지 않았다. 

그들이 듣고 싶어 하신 것은 음악일 뿐이었다.  

나는 음악을 연주하기 위해 피아노를 배운다는 사실을 

단 한 번도 잊은 적이 없다. 

 

하지만 수학을 배울 땐 계산법 이외의 것을 

단 한번도 생각해 본적이 없었다.

학교에 입학한 뒤 내가 경험한 거라곤 

잡다한 공식을 외우거나 연습문제를 풀고 또 푼 것뿐이었다.

나는 문제를 푸는 것이 곧 수학을 하는 것이라 생각했다. 


수학을 한다는 것은 수학적 개념과 기술을 응용할 수 있는  

상황이나 문제에 대해 생각하고 해결하는 것을 말한다. 

물론 계산도 수학의 일부이기는 하지만, 

그것은 목적을 위한 수단일 뿐이지, 그 자체가 목적은 아니다. 

 

만일 농구를 가르칠 때, 아이들을 책상 앞에 앉혀 놓고

쪽지 시험을 봐가면서 게임의 규칙만 가르친다면?

이렇게 농구를 가르치는 바보는 세상에 없을 것이다. 

 

수학도 마찬가지다.

백번 들어도 한 번 보는 것만 못하고, 

백 번을 봐도 한 번 해보는 것만 못하다는 말이 있다. 

귀로 들으면 잊혀지지만, 눈으로 보면 쉽게 기억할 수 있고, 

몸으로 직접 해보면 이해 할 수 있다. 

 

수학이 필요한 상황에서 아이들이 직접 활동하고, 탐구하고, 

실험할 수 있게 해주면 된다. 

그러면서 수학 개념과 계산법을 익히게 하는 것이다. 

문제를 해결할 수 있는 상황 안에서 생각과 논리적 사고를 통해 

수학 개념과 방법을 익히게 하라. 

물론 쉬운 일이 아니다. 교육이란 그렇게 쉬운 일이 아니다. 

수학을 가르치기 위해선 먼저 수학을 충분히 이해해야 하고

아이들의 학습법에 많은 관심을 기울여야 하며, 

아이들에게 자연스럽게 게산하는 방법을 가르쳐 줄 수 있어야 한다.  

 

 

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파이(π)는 원의 지름으로 원주를 나누면 나오는 값이다.

"모든 원에서 원주는 지름의 3.14배와 가깝다." 

이 개념을 나타내는 공식은 c=πd 혹은 c=2πr로 표현한다.

그렇다면 나는 여러분에게 파이의 의미를 가르쳤다고 말할 수 있다.

그렇다고 해서 여러분이 파이가 무엇인지 배웠고, 

파이를 이해했다고 할 수 없다.

물론 이해할 수 있지만, 이해하지 못했다면 이 관계를 생각해 볼 필요가 있다.

여러분이 크기가 다른 원 10개를 놓고, 원 둘레와 지름을 재보고

각 원둘레가 지름의 몇 배가 되는지 나눠보는 것이 도움이 될 것이다.

 

배운다는 것은 이해한다는 것이지,

들었던 것을 앵무새처럼 암송하는 것이 아니다. 

수학을 배운다는 것은 관계를 파악하고, 개념들의 연결 고리를 이해하며,

새로운 상황에서 새로운 개념과 기법을 이용할 수 있다는 것을 뜻한다.

 

또 원의 넓이를 구하기 위해서

파이로 반지름의 제곱을 곱하면 된다는 것을 설명할 수 있다.

이것의 공식은 A=πr² 이다.

이렇게 말했다 해서 누가 어떻게 이 공식을 만들어 냈으며,

이 공식의 정확한 의미가 무엇인지 이해했다고는 말할 수 없다. 

 

좋은 교육은 숨은 의미를 이해할 수 있도록 도와주는 것이다. 

모든 수학 공식도 마찬가지이다. 

그리고 어떻게 이런 공식이 만들어 졌는지 알아낼 수 있도록 동기를 부여해야 한다. 

좋은 교사는 여러분이 그렇게 할 수 있도록 도와주는 교사다.   

 

 

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7학년 학생들에게 원에 대한 단원을 가르칠 때

학생들은 여러 가지 둥근 물체를 가지고 원둘래와 지름을 비교했다.

아이들은 다양한 방법을 이용해 수많은 원의 넓이를 게산하고,

저마다 계산한 것과 자기가 생각한 것에 대해 토론하고 의논했다. 

내가 학생들에게 낸 문제 중 하나는 

피자 가격이 어떻게 결정되었을까 생각해보라는 것이었다.

아이들은 여러 크기의 피자 중에서 특정 크기의 피자 가격을 계산해야 했다.

아이들은 피자 가격과 둥근 피자판의 넓이 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보았고,

어떤 크기를 시켜야 가장 이익인지 계산했다.

(여기서 이익이란 최소 금액으로 가장 많은 양의 피자를 먹는 것)

학생들은 여러 피자 집에서 피자 크기와 갸격에 대한 정보를 모아왔고, 

그 정보를 분석했으며 결과를 비교했다. 

아이들은 재미있게 원에 대해 공부했다. 

아이들이 적극적으로 참여해 직접 이해할 수 있었기 때문이었다.

공식을 외우거나 공식을 이용해 문제를 푸는 것은 없었다. 

왜 그 공식이 그렇게 만들어 졌으며 어떻게 응용될 수 있는지 

직접 체험을 통해 깨달을 수 있었다.  

 

스스로 이해하기 위해서는 직접 계산해 보아야 한다는 것,

그것이 학습의 가장 중요한 요소이다.

선생님이 방향을 제시하고 정보를 제공하고 

몇몇 개념을 설명해 줄 수 있지만, 

그 개념을 이해하는 것은 자기 자신이다.

 

언니 친구는 모노폴리 게임을 할 때 나더러 건물을 사라고 부추겼다. 

하지만 왜 그래야 하는지 이해해야 했던 건 나였다. 

마리에게 의자와 쇼파를 구분할 수 있는 기회를 준 건 엄마였지만

그 정보를 구분한 것은 마리 자신이었다. 

 

 

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어느 날 3학년 학생이 자랑스럽게 

6곱하기 8은 48인 것을 알고 있다고 했다. 

"어떻게 알게 되었니?"

아직 곱셈을 공부하기 전인데 어떻게 알게 되었을까 물어보았다. 

"육 팔에 사십팔..." 아니는 노래를 읊조리듯 대답했다.

"아 그렇구나. 맞아. 그럼 6곱하기 6은 뭘까"

"몰라요. 그건 아직 안 배웠어요."

그 아이는 단순한 리듬을 통해 구구단 일부를 외웠던 것뿐이었다. 

따라서 6과 8을 곱하면 48이 된다는 것을 논리적으로 설명하지 못했다.

그저 숫자만 외웠을 뿐이었기 때문이다. 

이런 식으로 수학을 하는 아이들이 너무 많다. 

그것은 이해하는 수학이 아니라 규칙만 따라가는 것이다. 

 

 

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콜라 깡동을 생각해보자. 

손으로 대강 깡통의 높이를 나타낼 수 있을 것이다. 

또 깡통의 지름도 손으로 대강 나타낼 수 있을 것이다. 

실로 깡통의 둘레를 감싼 다음, 길이대로 자른다고 생각해보라.

(이 실의 길이는 곧 깡통의 원주일 것이다.)

이번엔 그 실을 들어 깡통의 높이와 비교해 본다고 가정하자.

실이 깡통의 높이보다 짧을까 길까? 아니면 같을까?

잠깐 생각해 보라. 그 다음 직접 해보라.

그리고 수학적으로 어떤 의미가 있는지 확인해 보라.

 

 

 

 

 




<수학, 별거 아냐!> 

매릴린 번스 저 | 경문사

 

미국의 유명한 수학교사 매릴린 번스가 쓴 

<수학, 별거아냐!>에서 "7장, 생각하며 계산하기" 

일부를 발췌한 내용입니다.  

<경문사>는 일반인에게 잘 알려지지 않았지만,

700여 권의 수학 관련서만 냈던 수학 전문 출판사입니다.

 

 

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